Một lim thú vị!!!

Tính lim của :

L= \lim_{n\to\infty}(\dfrac{n!}{n^n})^\frac{1}{n}

Rõ ràng ta có thể thấy n^n\ge n!, n\ge1 \forall n \in \mathbb{N}^+. Như vậy đây là một dạng 0^0. Đầu tiên, ta tính ln 2 vế:

ln(L)= ln(\lim_{n\to\infty}(\dfrac{n!}{n^n})^{\frac{1}{n}}) =  \lim_{n\to\infty} ln( (\dfrac{n!}{n^n})^{\frac{1}{n}}) )= lim_{n\to\infty} (\dfrac{1}{n}ln(\dfrac{n!}{n^n} ))\\= lim_{n\to\infty} (\dfrac{1}{n}(ln(\dfrac{1}{n} ) +  ln(\dfrac{2}{n} ) + ... +  ln(\dfrac{n}{n} )  )) \\ = lim_{n\to\infty} ( \dfrac{1}{n} ln(\dfrac{1}{n} ) +  \dfrac{1}{n}  ln(\dfrac{2}{n} ) + ... +  \dfrac{1}{n}  ln(\dfrac{n}{n} )) \\ \approx  \displaystyle \int_0^1 ln(x)dx = -1 \Rightarrow  L=\dfrac{1}{e}

***Chú ý rằng ta thấy ở khai triển cuối, \dfrac{1}{n}*ln(\dfrac{i}{n}), \forall i=1,...,n khi lim tiến đến vô cùng có thể xem như dx.

No Comments

Post A Comment